采用基波近似法（first harmonic approximation, FHA）分析, 图4为CLLC谐振变换器基波等效电路图, n为变压器的变比, Z_eq为负载等效电阻, 从副边等效的L'_r2= L_r2/n²、C'_r2= n²C_r2, 为了保证谐振网络的对称性, 使其适用于能量双向流动, 一般设计参数使L_r1=L'_r2、C_r1=C'_r2。利用傅里叶级数计算谐振网络原边和副边电压的基波分量：

${{U}_{\text{ab}}}=\frac{4{{U}_{\text{i}}}\cos \left( {{D}_{1}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right)}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}\sin \left( \omega t+{{\phi }_{\text{ab}}} \right)$ (1)

${{U}_{\text{cd}}}=\frac{4{{U}_{\text{o}}}}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}\sin \left( \omega t+{{\phi }_{\text{cd}}} \right)$ (2)

式中：${{\phi }_{\text{ab}}}$= -D₁π ; ${{\phi }_{\text{cd}}}$= -2D₂π ; ω 为基波角速度。由式（1）、式（2）得基波分量有效值：

${{U}_{\text{ab }\!\!\_\!\!\text{ rms}}}\text{=}\frac{2\sqrt{2}{{U}_{\text{i}}}\cos \left( {{D}_{1}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right)}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$ (3)

${{U}_{\text{cd }\!\!\_\!\!\text{ rms}}}=\frac{2\sqrt{2}{{U}_{\text{o}}}}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$ (4)

图4

Fig. 4

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	图4 CLLC基波等效电路图Fig. 4 CLLC fundamental equivalent circuit diagram

由图4, 利用叠加定理得：

$\begin{align} & {{i}_{\text{r2}}}=-\frac{{{U}_{\text{ab}}}}{{{Z}_{1}}+{{Z}_{\text{m}}}//{{Z}_{2}}}\text{+}\frac{{{U}_{\text{cd}}}}{{{Z}_{1}}+{{Z}_{\text{m}}}//{{Z}_{2}}}\cdot \frac{{{Z}_{\text{m}}}}{{{Z}_{\text{m}}}+{{Z}_{2}}} \\ & \text{ =}{{X}_{i\text{r2}}}+j{{Y}_{i\text{r2}}} \\ \end{align}$ (5)

由式（5）可得i_r2的相位角和有效值分别为：

${{\phi }_{i\text{r2}}}=\arctan \left( \frac{{{Y}_{i\text{r2}}}}{{{X}_{i\text{r2}}}} \right)$ (6)

${{I}_{\text{r2 }\!\!\_\!\!\text{ rms}}}=\left\| {{i}_{\text{r2}}} \right\|$ (7)

可求得Z_eq的阻抗角为：

${{\phi }_{Z\text{eq}}}={{\phi }_{\text{cd}}}-{{\phi }_{i\text{r2}}}$ (8)

负载等效阻抗Z_eq的模值^[8]：

$\left\| {{Z}_{\text{eq}}} \right\|=\frac{n{{U}_{\text{r2 }\!\!\_\!\!\text{ rms}}}}{{{I}_{\text{r2 }\!\!\_\!\!\text{ rms}}}/n}\text{=}\frac{8{{n}^{2}}{{R}_{\text{o}}}\cos {{\phi }_{Z\text{eq}}}}{{{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{2}}}$ (9)

则Z_eq可以表示为：

${{Z}_{\text{eq}}}\text{=}\left\| {{Z}_{\text{eq}}} \right\|\angle {{\phi }_{{{Z}_{\text{eq}}}}}={{Z}_{\text{eq}}}\left( \cos {{\phi }_{{{Z}_{\text{eq}}}}}+j\sin {{\phi }_{{{Z}_{\text{eq}}}}} \right)$ (10)

由图4得谐振网络传递函数为：

$\left\| H \right\|=\frac{n{{U}_{\text{cd }\!\!\_\!\!\text{ rms}}}}{{{U}_{\text{ab }\!\!\_\!\!\text{ rms}}}}=\left\| \frac{{{Z}_{\text{m}}}//\left( {{Z}_{2}}+{{Z}_{\text{eq}}} \right)}{{{Z}_{1}}+{{Z}_{\text{m}}}//\left( {{Z}_{2}}+{{R}_{\text{eq}}} \right)}\cdot \frac{{{Z}_{\text{eq}}}}{{{Z}_{2}}+{{Z}_{\text{eq}}}} \right\|$ (11)

式中：Z_m为励磁阻抗, Z_m= jω L_m; Z₁为原边谐振阻抗, Z₁= jω L_r1+ 1/(jω C_r1); Z₂为副边谐振阻抗, Z₂= jω L_r2+ 1/(jω C_r2); k为变压器励磁电感与谐振电感之比, k = L_m/L_r1; Q为CLLC电路的品质因数, Q = (L_r1/C_r1)^0.5/Z_eq; f_n为归一化频率, f_n = f_s/f_r。

电压增益：

${{G}_{\text{EPS}}}=\frac{n{{U}_{\text{o}}}}{{{U}_{\text{i}}}}=\left\| H \right\|\cdot \cos \left( {{D}_{1}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right)$ (12)

采用同样的方法可以得到调频控制^[11]和传统移相控制的电压增益分别为：

$\begin{align} & {{G}_{\text{PFM}}}=\left\| {{H}_{1}} \right\| \\ & =\frac{1}{\sqrt{{{\left( \frac{Q}{k} \right)}^{2}}{{\left[ \left( 2k+1 \right){{f}_{\text{n}}}-\frac{2k+2}{{{f}_{\text{n}}}}+\frac{1}{f_{\text{n}}^{3}} \right]}^{2}}+{{\left( 1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k{{f}_{\text{n}}}^{2}} \right)}^{2}}}} \\ \end{align}$(13)

${{G}_{\text{PS}}}=\left\| {{H}_{1}} \right\|\cdot \cos \left( {{D}_{1}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right)$ (14)

由于两种控制方法中, Z_eq为纯电阻故可表示为R_eq, R_eq= 8n²R_o/π ², 此时Q = (L_r1/C_r1)^0.5/R_eq。

运行中CLLC谐振变换器的损耗P_loss主要由开关损耗P_sw、变压器损耗P_tra和谐振回路损耗P_LC组成。其中, P_tra和P_LC主要为磁芯损耗, 与变换器的参数有关; P_sw主要由导通损耗P_cond、开关的通断损耗P_on/off, 在保证开关ZVS的情况下, 可近似认为P_on/off很小且与D₁、D₂无关^[12]。

对于开关管的导通损耗：

${{P}_{\text{cond}}}=2I_{\text{r1 }\!\!\_\!\!\text{ rms}}^{\text{2}}{{R}_{\text{dson}}}+2I_{\text{r2 }\!\!\_\!\!\text{ rms}}^{\text{2}}{{R}_{\text{dson}}}$ (15)

式中：I_{r1_rms}、I_{r2_rms}为原边和副边谐振电流的有效值, R_dson为开关管的导通电阻。

由图4, 利用叠加定理得：

${{i}_{\text{r}1}}=\frac{{{U}_{\text{ab}}}}{{{Z}_{1}}+{{Z}_{\text{m}}}//{{Z}_{2}}}-\frac{{{U}_{\text{cd}}}}{{{Z}_{1}}+{{Z}_{\text{m}}}//{{Z}_{2}}}\cdot \frac{{{Z}_{\text{m}}}}{{{Z}_{\text{m}}}+{{Z}_{1}}}$ (16)

由式（5）和式（16）可得I_{r1_rms}和I_{r2_rms}的表达式, 再代入式（15）可求得P_cond。

提出一种调频-扩展移相控制应用于CLLC拓扑, 这种控制方法的优势是相对于传统PFM控制, 实现相同的电压增益时开关频率变化范围较窄, EPS控制部分相对于单移项控制可以减小开关管的导通损耗, 提高变换器的效率。

所提出的控制方法框图如图5。控制分为两段, 如图6所示, 在负载相同的情况下, 较高的电压增益采用PFM控制模式：电压增益范围为G_{PFM_max}≥ G ≥ G_{PFM_min}, 开关频率变化范围为f_{s_min}≤ f_s≤ f_{s_max}; 较低的电压增益采用EPS控制模式：文献[9]通过实验验证, 得到D₂= 0.5D₁使i_{r1_rms}和i_{r2_rms}最小的结论, 在其余损耗不变的情况下开通损耗有最小值, 即变换器的效率最高。为保证变压器的效率, 保持D₂= 0.5D₁, 将D₁视作单独未知数控制电压增益, 也便于参数设计, 增益范围为G_{EPS_max}≥ G ≥ G_{EPS_min}, 移相范围为D_{1_min}≤ D₁≤ D_{1_max}。

图5

Fig. 5

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	图5 调频-扩展移相控制框图Fig. 5 PFM-EPS control block diagram

图6

Fig. 6

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	图6 调频-扩展移相控制曲线：（a）G-fs; （b）G-D1Fig. 6 PFM-EPS control curve: (a) G-fs; (b) G-D1

分段控制的边界条件：调频控制中f_{s_min}对应的电压增益G_{PFM_max}为变压器可达到的最大增益, 由工况决定, f_s-G的关系式为式（13）; f_{s_max}对应的电压增益G_{PFM_min}= G_{EPS_max}为两端控制的分界点, 此时D₁= D_{1_min}= 0; EPS控制中D_{1_max}对应的电压增益G_{EPS_min}也由工况决定, D₁-G的关系式为式（12）, 此时开关工作频率为f_{s_min}。

通过式（12）和式（14）可得, 基于FHA分析, EPS控制与传统移相控制的电压增益表达式相同, 在开关频率f_s一定时仅以相移D₁为变量, 且D₁的增大使相同f_s时相对调频控制的电压增益减小, 即相对于调频控制, 实现相同的开关增益, 调频-扩展移相控制的f_s变化范围更窄, 开关关断电流和谐振损耗更小。

对于原边侧开关, 开关管的电流滞后于开关电压方波的上升沿时, 可保证ZVS。原边输入阻抗为：

${{Z}_{\text{in}}}={{Z}_{1}}+{{Z}_{\text{m}}}//\left( {{Z}_{2}}+{{Z}_{\text{eq}}} \right)$ (17)

令Z_in= X + jY, 则输入阻抗角${{\phi }_{Z\text{in}}}=\arctan \left( {Y}/{X}\; \right)$ , 为了保证ZVS, 有：

${{\phi }_{i\text{r2}}}\text{=}{{\phi }_{{{Z}_{\text{in}}}}}+{{\phi }_{\text{ab}}}\ge 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{D}_{1}}$ (18)

为了实现较小的f_s变化范围, 需要将EPS控制实现的电压增益范围取得尽量大, 即取临界状态${{\phi }_{Z\text{in}}}\text{+}{{\phi }_{\text{ab}}}\text{=2 }\!\!\pi\!\!\text{ }{{\text{D}}_{\text{1}}}$ 时对应的f_s和D₁分别作为f_{s_max}和D_{1_max}, 联立式（12）可求得f_{s_max}、D_{1_max}以及G = G_{PFM_min}= G_{EPS_max}的值。

原边谐振电流i_r1的相位如式（16）, 代入不同参数可知, 在D₁不变的情况下, 增大D₂的值, 可以增大原边开关管两端电流的相值, 即相对于SPS控制, EPS控制模式下的软开关区间更大, 在软开关区间内可以实现的电压增益更大。