TAB变换器拓扑如图1所示, 三个直流端口分别接光伏电源、储能电池与直流负载。V_i为端口i的全桥输入直流电压; I_o1为端口1的输入电流; I_i为端口i的全桥输入电流; 辅助电感L_i为各个端口的功率传输电感与对应绕组的漏感之和; C_i和L_Fi是端口i直流侧的稳压滤波电容与电感; 各端口由共磁链的三绕组高频变压器连接, N_i为高频变压器绕组i的匝数; v_i为端口i对应的全桥电路逆变输出的高频方波电压; i_Li为端口i对应的辅助电感L_i上的电流, 电路中的器件均为理想元件。

图1

Fig. 1

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	图1 TAB变换器拓扑Fig. 1 Topology of TAB converter

经电路等效变换后可得TAB变换器的等效电路如图2所示^[16]。

图2

Fig. 2

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	图2 TAB变换器等效电路：（a）星形电路; （b）三角形电路Fig. 2 Equivalent circuit of TAB converter: (a) star equivalent circuit; (b) mesh equivalent circuit

以端口1为参考, 将第k端口的各参数折算到端口1后的全桥电路输出的高频方波电压, 电感电流和辅助电感的大小分别记为v_k′ 、i_k′ 和L_k′ , k= 1 ~ 3, 计算公式如下：

$\left\{ \begin{align} & {{v}_{k}}\prime =\left( \frac{{{N}_{1}}}{{{N}_{k}}} \right){{v}_{k}} \\ & {{i}_{Lk}}\prime =\left( \frac{{{N}_{k}}}{{{N}_{1}}} \right){{i}_{Lk}} \\ & {{L}_{k}}\prime ={{\left( \frac{{{N}_{1}}}{{{N}_{k}}} \right)}^{2}}{{L}_{k}} \\ \end{align} \right.$ (1)

图2（b）中各端口间等效电感L_ij表达式为：

${{L}_{ij}}={{L}_{i}}\prime {{L}_{j}}\prime \left( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{L}_{k}}\prime }} \right)$ (2)

为了方便分析与计算, 令各绕组匝比都相同, 记N= N₁=N₂=N₃, 令各端口之间电感也相同, 记L= L₁₂= L₁₃= L₂₃。

TAB 变换器通常采用移相调制, 所有开关的频率f相同, 以对称占空比导通关断, 同一全桥中相同桥臂上的开关管驱动信号互补, 对角开关管驱动信号互补, 经全桥电路逆变输出高频方波电压。以端口1开关管驱动信号为参考, 端口2、3驱动信号滞后的移相角分别记为φ ₁₂和φ ₁₃, 则端口2、3之间的移相角为φ ₂₃= φ ₁₃- φ ₁₂, 其工作原理波形如图3所示, T_s为一个开关周期, T_s = 1/f。

图3

Fig. 3

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	图3 TAB变换器工作原理波形Fig. 3 Waveforms of TAB converter

此时, 结合图2（b）的等效电路, TAB变换器各端口传输的功率P_i可以等效为三组双有源桥（dual-active bridge, DAB）变换器间单移相控制下传输的功率叠加, 其表达式为：

$\left\{ \begin{align} & {{P}_{1}}=\frac{{{V}_{1}}{{V}_{2}}{{\varphi }_{12}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }fL}\left( 1-\frac{\left| {{\varphi }_{12}} \right|}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right)+\frac{{{V}_{1}}{{V}_{3}}{{\varphi }_{13}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }fL}\left( 1-\frac{\left| {{\varphi }_{13}} \right|}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right) \\ & {{P}_{2}}=-\frac{{{V}_{1}}{{V}_{2}}{{\varphi }_{12}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }fL}\left( 1-\frac{\left| {{\varphi }_{12}} \right|}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right)+\frac{{{V}_{2}}{{V}_{3}}{{\varphi }_{23}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }fL}\left( 1-\frac{\left| {{\varphi }_{23}} \right|}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right) \\ & {{P}_{3}}=-\frac{{{V}_{1}}{{V}_{3}}{{\varphi }_{13}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }fL}\left( 1-\frac{\left| {{\varphi }_{13}} \right|}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right)-\frac{{{V}_{2}}{{V}_{3}}{{\varphi }_{23}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }fL}\left( 1-\frac{\left| {{\varphi }_{23}} \right|}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right) \\ \end{align} \right.$ (3)

从式（3）中可以看出, TAB变换器任意端口传输功率的变化不仅与当前端口的移相角和电压有关, 还受到其余各个端口的移相角和电压的影响, 当其中一个端口的传输功率或者移相角发生变化时, 会引起其余端口传输功率及端口电压与电流的波动, 即各端口的传输功率之间存在耦合关系。由上式可得到各端口的电流I_i为：

$\left\{ \begin{align} & {{I}_{1}}=\frac{{{V}_{2}}{{\varphi }_{12}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }fL}\left( 1-\frac{\left| {{\varphi }_{12}} \right|}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right)+\frac{{{V}_{3}}{{\varphi }_{13}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }fL}\left( 1-\frac{\left| {{\varphi }_{13}} \right|}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right) \\ & {{I}_{2}}=-\frac{{{V}_{1}}{{\varphi }_{12}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }fL}\left( 1-\frac{\left| {{\varphi }_{12}} \right|}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right)+\frac{{{V}_{3}}{{\varphi }_{23}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }fL}\left( 1-\frac{\left| {{\varphi }_{23}} \right|}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right) \\ & {{I}_{3}}=-\frac{{{V}_{1}}{{\varphi }_{13}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }fL}\left( 1-\frac{\left| {{\varphi }_{13}} \right|}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right)-\frac{{{V}_{2}}{{\varphi }_{23}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }fL}\left( 1-\frac{\left| {{\varphi }_{23}} \right|}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right) \\ \end{align} \right.$ (4)

在变换器工作过程中, 一般需要保持端口电压的稳定, 即以端口电压的给定参考值作为控制目标, 端口2接储能电池作为功率平衡端口, 在光伏电源输出大于负载所需功率时吸收多余功率充电, 在光伏电源输出不足时输出功率放电保证负载正常工作, 其电流参考值I_Bat^* 可由功率守恒得到。

当电路工作在稳态时, 将稳态点的参数记为端口2电流I_Bat^* 、端口2电压V_Bat^* 、端口3电流I_R^* 、端口3电压V_R^* 、端口驱动信号移相角φ _k^* , 以端口1作为参考, 令φ ₁= 0, 同时忽略端口1的电压波动, 设小信号扰动分别为Δ I_k、Δ V_k、Δ φ _k, k= 2, 3代入式（4）中, 展开后忽略高阶小项, 将式（4）中的电流变化表示为各端口直流电压变化和移相角变化的函数的线性化模型为：

$\left\{ \begin{align} & \Delta {{I}_{2}}={{G}_{22}}\Delta {{\varphi }_{2}}+{{G}_{23}}\Delta {{\varphi }_{3}}+{{H}_{22}}\Delta {{V}_{2}}+{{H}_{23}}\Delta {{V}_{3}} \\ & \Delta {{I}_{3}}={{G}_{32}}\Delta {{\varphi }_{2}}+{{G}_{33}}\Delta {{\varphi }_{3}}+{{H}_{32}}\Delta {{V}_{2}}+{{H}_{33}}\Delta {{V}_{3}} \\ \end{align} \right.$ (5)

其中系数为：

$\left\{ \begin{align} & {{G}_{ik}}=\frac{\partial {{I}_{i}}}{\partial {{\varphi }_{k\ne i}}}=\frac{{{V}_{k}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }fL}\left( 1-\frac{2\left| {{\varphi }_{k}}-{{\varphi }_{i}} \right|}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right) \\ & {{G}_{ii}}=\frac{\partial {{I}_{i}}}{\partial {{\varphi }_{i}}}=-\sum\limits_{j\ne i}^{n}{\frac{{{V}_{j}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }fL}\left( 1-\frac{2\left| {{\varphi }_{j}}-{{\varphi }_{i}} \right|}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right)} \\ & {{H}_{ij}}=\frac{\partial {{I}_{i}}}{\partial {{V}_{j}}}=\frac{{{V}_{j}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }fL}\left( {{\varphi }_{j}}-{{\varphi }_{i}} \right)\left( 1-\frac{\left| {{\varphi }_{j}}-{{\varphi }_{i}} \right|}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right) \\ \end{align} \right.$ (6)

将端口驱动信号移相角变化定义为控制变量：

$\begin{matrix} {{u}_{1}}=\Delta {{\varphi }_{2}}={{\varphi }_{2}}-\varphi _{2}^{* } & {{u}_{2}}=\Delta {{\varphi }_{3}}={{\varphi }_{3}}-\varphi _{3}^{* } \\ \end{matrix}$ (7)

将端口电压与电流定义为状态量与输出量：

$\begin{matrix} {{x}_{1}}={{y}_{1}}={{V}_{2}}-V_{\text{Bat}}^{* } & {{x}_{2}}={{y}_{2}}={{V}_{3}}-V_{R}^{* } \\ {{x}_{3}}={{y}_{3}}={{I}_{\text{Bat}}}-I_{\text{Bat}}^{* } & {{x}_{4}}={{y}_{4}}={{I}_{R}}-I_{R}^{* } \\ \end{matrix}$ (8)

将其写为状态空间方程的形式：

$\dot{x}=Ax\text{+}Bu$ (9)

结合图1中电路关系与上式可以推出系统矩阵A和控制矩阵B分别为：

$\begin{matrix} \mathsf{A}=\left[ \begin{matrix} \frac{{{H}_{22}}}{{{C}_{2}}} & \frac{{{H}_{23}}}{{{C}_{2}}} & \frac{-1}{{{C}_{2}}} & 0 \\ \frac{{{H}_{32}}}{{{C}_{3}}} & \frac{{{H}_{33}}}{{{C}_{3}}} & 0 & \frac{-1}{{{C}_{3}}} \\ \frac{1}{{{L}_{\text{F2}}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{{{L}_{\text{F3}}}} & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right] & \mathsf{B}=\left[ \begin{matrix} \frac{{{G}_{22}}}{{{C}_{2}}} & \frac{{{G}_{23}}}{{{C}_{2}}} \\ \frac{{{G}_{32}}}{{{C}_{3}}} & \frac{{{G}_{33}}}{{{C}_{3}}} \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right] \\ \end{matrix}$ (10)

输出矩阵C与直接转移矩阵D为：

$\begin{matrix} \mathsf{C}={{\mathsf{I}}_{4\times 4}} & \mathsf{D}={{0}_{4\times 4}} \\ \end{matrix}$ (11)

通过引入代价函数J的概念对系统的控制性能进行评价：

$J=\frac{1}{2}\int_{{{t}_{\text{0}}}}^{\infty }{\left( {{x}^{\text{T}}}Qx+{{u}^{\text{T}}}Ru \right)\text{d}t}$ (12)

LQR控制的本质是通过设计出的状态反馈控制器K使代价函数J取得最小值, 即找到一组控制量u使得同时有x足够小（系统达到稳定状态）且u足够小（控制量尽量小的变化）, 即通过最小的控制代价使系统达到最终的控制目标, 得到最佳的控制效果。式（12）中Q与R分别为代价函数中状态量和控制量的权重矩阵, 决定着控制的收敛速度和能耗, K由矩阵Q与R唯一决定, 构造满足下式的矩阵P：

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left( {{x}^{\text{T}}}Px \right)=-{{x}^{\text{T}}}\left( Q\text{+}{{K}^{\text{T}}}RK \right)x$ (13)

将式（13）代入式（12）中, 当代价函数J取得最小值时, 矩阵P为Riccati方程式（14）的解：

${{A}^{\text{T}}}P\text{+}PA\text{+}Q-PB{{R}^{-\text{1}}}{{B}^{\text{T}}}P=0$ (14)

可以进一步得到系统的状态反馈控制量为：

$u=-{{R}^{-\text{1}}}{{B}^{\text{T}}}Px=-Kx$ (15)

TAB变换器的LQR控制框图如图4所示。

图4

Fig. 4

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	图4 TAB变换器LQR控制框图Fig. 4 Control block diagram of LQR control on TAB converter

代价函数J对系统的状态量和控制量进行了综合评价, 通过对Q与R中元素的调整可以改变系统的特征值位置, 从而改变系统的控制性能。在LQR控制下, 每个控制动作给出的控制量即端口驱动信号移相角φ ₂与φ ₃的偏差都尽可能小, 最小化控制过程中带来的影响, 以实现系统控制的最优解。